有限数学示例

$\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (x + 1) - \ln (x - 1) = - 1$

解题步骤 2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$

解题步骤 3

利用对数的定义将 $\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

解题步骤 4

交叉相乘以去掉分数。

$x + 1 = e^{- 1} (x - 1)$

解题步骤 5

化简 $e^{- 1} (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x + 1 = \frac{1}{e} (x - 1)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$x + 1 = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{1}{e}$ 和 $x$ 。

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

解题步骤 5.4

组合 $\frac{1}{e}$ 和 $- 1$ 。

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

解题步骤 5.5

将负号移到分数的前面。

$x + 1 = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

解题步骤 6

从等式两边同时减去 $\frac{x}{e}$ 。

$x + 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e}$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

解题步骤 8

从 $x - \frac{x}{e}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.1

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

解题步骤 8.2

从 $- \frac{x}{e}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

解题步骤 8.3

从 $x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

解题步骤 9

将 $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ 中的每一项除以 $1 - \frac{1}{e}$ 并化简。

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解题步骤 9.1

将 $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ 中的每一项都除以 $1 - \frac{1}{e}$ 。

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

解题步骤 9.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.1

约去 $1 - \frac{1}{e}$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

解题步骤 9.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

解题步骤 9.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.1

在公分母上合并分子。

$x = \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

解题步骤 9.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e$ .

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解题步骤 9.3.2.1

将 $\frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$ 乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$x = \frac{e}{e} \cdot \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

解题步骤 9.3.2.2

合并。

$x = \frac{e (- \frac{1}{e} - 1)}{e (1 - \frac{1}{e})}$

解题步骤 9.3.3

运用分配律。

$x = \frac{e (- \frac{1}{e}) + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

解题步骤 9.3.4

通过相约进行化简。

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解题步骤 9.3.4.1

约去 $e$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.4.1.1

将 $- \frac{1}{e}$ 中前置负号移到分子中。

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

解题步骤 9.3.4.1.2

约去公因数。

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

解题步骤 9.3.4.1.3

重写表达式。

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

解题步骤 9.3.4.2

约去 $e$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.4.2.1

将 $- \frac{1}{e}$ 中前置负号移到分子中。

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

解题步骤 9.3.4.2.2

约去公因数。

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

解题步骤 9.3.4.2.3

重写表达式。

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 - 1}$

解题步骤 9.3.5

化简分子。

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解题步骤 9.3.5.1

将 $- 1$ 移到 $e$ 的左侧。

$x = \frac{- 1 - 1 \cdot e}{e \cdot 1 - 1}$

解题步骤 9.3.5.2

将 $- 1 e$ 重写为 $- e$ 。

$x = \frac{- 1 - e}{e \cdot 1 - 1}$

解题步骤 9.3.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 9.3.6.1

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 - e}{e - 1}$

解题步骤 9.3.6.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 (1) - e}{e - 1}$

解题步骤 9.3.6.3

从 $- e$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1) - (e)}{e - 1}$

解题步骤 9.3.6.4

从 $- 1 (1) - (e)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + e)}{e - 1}$

解题步骤 9.3.6.5

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + e}{e - 1}$

解题步骤 10

排除不能使 $\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$ 成立的解。

$无解$

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